RPS - Nierówności probabilistyczne - zadania
Zad. 1. Kolekcjoner kuponów c.d.
Obliczyć p-stwo tego, że w zadaniu z kolekcjonerem kuponow będziemy potrzebować ponad 2*n*ln(n) prób.
(a) z nier. markowa
(b) z nier. czebyszewa
(c) na palcach
Ćw. 9.1.
Zad. 2.
Mamy algorytm RANDOMIZOWANY, rozwiązujący pewien minimalizacyjny problem optymalizacyjny, tj. szuka rozwiązania o najmniejszym koszcie. Przypuśćmy, że potrafimy przeanalizować nasz algorytm i znamy wart. ocz. kosztu rozwiązania mu. Załóżmy też, że satysfakcjonuje nas rozwiązanie o koszcie 2*mu (albo c*mu dla jakiegoś c > 1). Jak znaleźć takie rozwiazanie z dużym p-stwem?
Ćw. 9.2.
Zad. 3.
Mamy algorytm RANDOMIZOWANY, który oblicza interesująca nas wielkość. Wartość oczekiwana wyniku zwracanego przez algorytm mu jest równa faktycznej wartości, a odchylenie standardowe wynosi sigma. Jak z dużym prawdopodobieństwem uzyskać wynik w przedziale (mu-delta,mu+delta)?
Ćw. 8.3. + Z.d. 8.1.
Zad. 4.
Robimy sondaz przedwyborczy. Jest dwóch kandydatów: A i B, pytamy n osób na kogo głosują. Każda z osób niezależnie odpowiada A lub B, przy czym zakładamy, że sondażowana próbka jest reprezentatywna (tzn. p-stwo tego, że sondażowana osoba odpowie A jest równe frakcji osób popierających A). Chcemy się dowiedzieć ile osób popiera kandydata A? Oszacować jak duże powinno być n, żeby p-stwo popełnienia błędu w sondażu o więcej niż 1% było mniejsze niż 5%:
(a) z nier. Czebyszewa
(b) z centralnego twierdzenia granicznego
(c) z nier. Chernoffa?
Wskazówka: Interesuje nas n, dla którego P( |X-p_A| >= 0.01 ) <= 0.05.
Z.d. 9.1.